子どもを実際に見ていないので判断が難しいですが、『READY』か『Learning World 2』をおすすめします。
Learning World Book1 から READY へはゆっくりとしたスパイラルで進んでいきます。Book1がコミュニケーション活動から始まる文型シラバスで書かれているのに対し、READY は子供達の普段の生活の場面シラバスで書かれています。
英文はREADY　の方が短くなっています。これは、READYは元々小学校高学年ビギナー用につくられたテキストで、高学年から英語を始める場合は、幼児から始める場合よりも1文がより簡素で短い方が理解しやすいという、子供達の発達段階を考慮に入れて書かれていることに起因しています。

現在は小学校で英語の授業がありますので、READYは主に小3からスタートされるケースで使われていることが多くなっています。

READYでスタートし、よくできていれば　Book3に進むこともできます。

Learning World 2 (小4）→Learning World（小5）の進み方もチョイスとしてありますが、特に最初は難しく感じることもあると思いますので、Learning World2でスタートする場合には、ゆっくり丁寧に子供達の理解度を確認しながら進めてください。